2021年高考数学真题。很多同学都被这个问题吓到了，但其实并没有那么难。

我们先看第一个问题：证明序列{bn}是算术序列。

确定数列等差数列常用的方法有四种：定义法、通项公式法、算术中项法、求和公式法。其中，在证明一个数字序列为等差数列时，最常用的方法是定义法，即证明该数列从第二项开始，后一项与前一项的差为恒定值。

回到主题。题中给出的递归关系包含Sn和bn，所以要证明序列{bn}是算术序列，就必须想办法消除递归关系中的Sn。

由于bn 是序列{Sn} 前n 项的乘积，那么比较前n 项之和可知： bn=S1·S2·.·Sn=b(n-1)·Sn ，由此可得Sn=bn/b(n-1)。将其代入递推关系，去掉分母得到2b(n-1)+1=2bn，移动项得到2bn-2b(n-1)=1，即bn-b(n-1) )=1/2。

由于b1=S1，所以2/b1+1/b1=2，解为b1=3/2。

综上所述，序列{bn}是一个以3/2为第一项、1/2为公差的算术序列。

2021年高考数学真题。很多同学都被这个问题吓到了，但其实并没有那么难。

我们看第二个问题：求序列{an}的通项的公式。

显然不可能直接求出序列{an}的通项公式，但Sn是序列{an}的前n项之和，并且Sn可以通过题干中的递归关系找到，然后通过Sn 序列的通式{an}。即当n=1时。 a1=S1，从而求出a1的值；当n2时，an=Sn-S(n-1)，从而求出an。另外需要注意的是，需要将an取n=1计算出的a1值与a1=S1计算出的a1值进行比较，看两者是否相等。

由式(1)可得bn=3/2+(n-1)/2=(n+2)/2。代入递推关系，可得Sn=(n+2)/(n+1) 。当n=1时，a1=S1=3/2；当n2时，an=Sn-S(n-1)=(n+2)/(n+1)-(n+1)/n=-1/n(n+1)，若n=1 ，则a1=-1/23/2，所以an的通式必须分段写。